Râper la carotte à la râpe à bircher dans un saladier. Ajouter la moitié de la demi-crème acidulée, verser le reste dans un deuxième saladier et réserver. Rincer et bien sécher le pot: il servira de verre doseur. Ajouter l'eau, mélanger.
Mélanger les farines, le sel et la levure, incorporer à la masse à la carotte, puis pétrir env. 10 min. en une pâte lisse. Couvrir et laisser lever env. 1 h à température ambiante jusqu'à ce que la pâte ait doublé de volume.
Ajouter le fromage à la demi-crème acidulée réservée, saler et poivrer. Ajouter le thym effeuillé et mélanger le tout.
Abaisser la pâte sur un peu de farine en un rectangle d'env. 30 x 40 cm. Étaler la garniture dessus en ménageant une bordure d'env. 1 cm. Rouler la pâte dans le sens de la longueur. À l'aide d'un couteau à pain, couper le rouleau en rondelles d'env. 3 cm d'épaisseur, sans appuyer, puis les poser sur une plaque recouverte de papier cuisson. Couvrir et laisser lever encore pendant env. 1 h à température ambiante.
Faire cuire env. 25 min. dans le bas du four préchauffé à 200 °C. Sortir et laisser tiédir.
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